Nagroda Kościelskich jest przyznawana od 1962 roku przez Fundację im. Kościelskich -jedną z najstarszych polskich instytucji kulturalnych, działającą w Genewie. Powstała ona na mocy testamentu zmarłej w 1959 Moniki Kościelskiej, wdowy po Władysławie Auguście Kościelskim, wydawcy, poecie i mecenasie sztuki. Celem Fundacji jest wspieranie rozwoju literatury i poezji polskiej poprzez przyznawanie nagród młodym twórcom polskim (głównie pisarzom i krytykom literackim), zamieszkałym w kraju bądź na emigracji. Laureatów wybiera Jury, powoływane przez Radę Fundacji. W skład Jury wchodzą członkowie Rady oraz eksperci, znawcy polskiej literatury współczesnej. Wszystkie funkcje w Radzie Fundacji i Jury są pełnione honorowo. Źródłem finansowania Fundacji są głównie pozostałości po dawnej fortunie Kościelskich. Wartość finansowa nagrody zmienia się co roku (zależy od dochodów z papierów wartościowych, a także od liczby laureatów).
Fundacja kontynuuje tradycje mecenatu artystycznego, zapoczątkowane przez Władysława Kościelskiego (ur. 1819), znanego jako Sefer Pasza, który dorobił się na emigracji ogromnego majątku. Odziedziczył go przyszły teść założycielki Fundacji, Józef (1845-1911), działacz polityczny, poeta i dramaturg. Był on założycielem i długoletnim przewodniczącym Towarzystwa Literatów i Dziennikarzy Polskich w zaborze pruskim, prowadził też w szeroką działalność oświatowo-ulturalną. Jego syn, Władysław August (1886-1933), poeta, tłumacz i wydawca, zasłynął również jako mecenas sztuki i literatury. Jedyny syn Władysława Augusta i Moniki Kościelskich, Wojciech, zmarł tragicznie w młodym wieku (1947), będąc ostatnim przedstawicielem tej linii rodziny. Fundacja Kościelskich jest powszechnie uznawana za instytucję niezwykle zasłużoną dla kultury polskiej. Przyznawane przez nią wyróżnienie stanowi najwyższą poza granicami kraju stałą polską nagrodę literacką, uchodzącą za rzetelny miernik pisarskich osiągnięć.